Георг Кантор (Georg Cantor) умер в 1918 году в санатории в немецкого города Галле. Этот выдающийся математик заложил основы теории множеств в 1870-х годах. В свое время его идеи были враждебно встречены коллегами в Европе, а главным оппонентом стал Леопольд Кронекер (Leopold Kronecker), учитель Кантора. Во время одного из приступов депрессии бедный Георг написал 52 письма шведскому математику по имени Геста Миттаг-Леффлер (Gösta Mittag-Leffler), в каждом из которых упоминается Кронекер.
Но не только отношение современников толкало Кантора к депрессии. Неразрешимой проблемой для него стала неспособность доказать истинность континуум-гипотезы (Continuum Hypothesis). В одной из формулировок она звучит так: «Всякое бесконечное подмножество континуума R равномощно либо множеству натуральных чисел, либо R». Кантор был убежден в том, что она является истинной, но одного его убеждения было недостаточно. Однако как оказалось, выдающийся математик зря винил себя.
Истина или ложь?
В 1940 году Курт Гедель (Kurt Gödel) доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо, а в 1963 году Поль Коэн (Paul Cohen) показал общественности, что сама континуум-гипотеза также недоказуема.
Но как же это возможно? Истинность гипотезы недоказуема, но в то же время недоказуемо и ее отрицание? Подробный ответ займет ни одну страницу, но можно попробовать разобраться в этом парадоксе и без научных трактатов.
Континуум-гипотеза связана с понимаем размеров бесконечности. Но перед тем как говорить о размерах бесконечности, вспомним, как мы сравниваем обычные числа. Представим небольшое стадо коз в лесу. К примеру, сегодня пасутся шесть коз и на лужайке растут шесть деревьев. Если мы привяжем каждое животное к дереву, то они все будут в паре с деревом. Мы наблюдаем взаимно-однозначное математическое соответствие. Но если на лугу окажутся шесть коз и восемь деревьев, то мы никак не сможем установить подобное соответствие, какие бы варианты мы не пробовали: все равно останутся «деревья без животных».
Соответствие между множествами
Соответствия используются для сравнения размеров значительно больших, чем 6 коз, наборов чисел, в том чисел и для бесконечных множеств. Правило звучит так: если можно установить некое соответствие между двумя множествами, то их размер одинаков. И напротив: если соответствия нет, то одно из множеств должно быть больше. Например, совокупность всех натуральных чисел {1,2,3,4,...} содержит все числа, кратные пяти {5,10,15,20,...}. На первый взгляд кажется, что набор натуральных чисел больше, чем набор чисел, кратных пяти. Но на самом деле они равны по размеру: каждое натуральное число может быть в паре с кратным числом и при этом у нас не останется «свободных электронов», то есть непарных чисел. В таком соответствии, 1 будет идти вместе с 5, 2 — вместе с 10 и т.д.
Если повторять это упражнение для сравнения действительных чисел (к ним относятся целые числа, дроби, десятичные дроби и иррациональные числа) с натуральными числами, то мы придем к выводу, что совокупность первых больше. Другими словами, можно доказать, что не удается установить соответствие между этими двумя множествами.
Континуум-гипотеза утверждает, что нет бесконечного набора действительных чисел больше, чем совокупость натуральных чисел, но меньше, чем совокупность всех действительных чисел. Кантор был убежден в правдивости гипотезы, но никак не мог ее доказать.
Логика в помощь
Чтобы понять проблему, рассмотрим, из чего состоит математическое доказательство. Математические выводы должны быть доказаны посредством аксиом и логики.
Аксиомы — это утверждения о примитивных математических концепциях, которые являются истинными даже на интуитивном уровне. То есть никто никогда не ставит под сомнение их обоснованность. Пример аксиомы: для любого натурального числа (которое является простейшим понятием в математике) существует большее натуральное число. Это самоочевидно, и мы не ставим данное утверждение под сомнение.
Логика используется для построения более сложных выводов из аксиом. Так, мы можем создать модели, которые будут являться математическими структурами и удовлетворять условиям аксиом. Критически важно здесь то, любое утверждение аксиомы, доказанное с помощью логики, при переносе в любую другую модель будет истинным, что делает истинной и аксиому.
Примечательный факт: все основные математические выводы могут быть обоснованы с помощью аксиом, касающихся примитивного понятия о совокупности (обычно именуемым «множеством» в математике, а специальный раздел носит название «теория множеств»). Иными словами, можно доказывать математические утверждения, сначала интерпретируя высказывание на языке множеств (а это можно сделать всегда), а затем применяя логику для аксиом множеств.
Доказательство континуум-гипотезы
Курт Гедель описал модель, которая удовлетворяет аксиомам теории множеств, но не допускает бесконечное множество, чей размер варьируется в диапазоне натуральных и действительных чисел. Это помешало гипотезе континуума быть опровергнутой. Примечательно, что несколько лет спустя Пол Коэн нашел еще одну модель теории множеств, которая также соответствует аксиомам этой теории, что помешало континуум-гипотезе быть доказанной.
Проще говоря, для доказательства гипотезы континуума она должна быть истинна во всех моделях теории множеств, однако это не так. Пойдем от противного: чтобы гипотеза была опровергнута, она должна оставаться недействительной во всех моделях теории множеств, но и здесь нас ждет отрицательный ответ! Так континуум-гипотеза оказывается неразрешимым утверждением.
Не исключено, что новые аксиомы, пока еще неизвестные математической логике, покажут нам, истинна или ложна эта гипотеза.
Парадокс континуум-гипотезы и ее неопределённость в научном мире — это уникальное и важное явление, которое открывает нам глубинные структуры математики. Эта гипотеза ставит серьезные вопросы, касающиеся философии науки и аксиоматического метода. В данном случае математика может быть не самым прямым и разумным методом для описания нашей Вселенной. И вполне естественно задаться вопросом, является ли фактор неопределенности, характерный для данного математического феномена, определяющим для раскрытия некоторых функций Вселенной? Можем ли мы применить эту гипотезу к основным законам мироздания?
Можно пойти в своих размышлениях дальше и задаться вопросом: существуют ли Вселенные, где математические факты отображаются по-разному? До тех пор, пока гипотеза континуума не доказана и не опровергнута, есть немалый соблазн ответить на все эти вопросы утвердительно.
Высоких вам конверсий!
По материалам: nautil.us/blogimage source Jorge_Soriano
